ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56904
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

Решение

Так как  $ \angle$BCE = 90o - $ \angle$B/2, то  $ \angle$BCE = $ \angle$BEC, а значит, BE = BC. Поэтому  CF : KF = BE : BK = BC : BK и  AE : KE = CA : CK = BC : BK. Пусть прямая EF пересекает AC в точке D. По теореме Менелая  $ {\frac{AD}{CD}}$ . $ {\frac{CF}{KF}}$ . $ {\frac{KE}{AE}}$ = 1. Учитывая, что  CF : KF = AE : KE, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .