ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56908
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1B1C2 и B2C1C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

Решение

Рассмотрим треугольник A0B0C0, образованный прямыми  A1B2, B1C2 и C1A2 (A0 — точка пересечения прямых A1B2 и A2C1 и т. д.), и применим для него теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) и  (A2, B2, C2). В результате получим

$\displaystyle {\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0B_2}}{\overline{B_0B_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_1}}{\overline{A_0C_1}}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0C_2}}{\overline{C_0C_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_1}}{\overline{B_0A_1}}}$ = 1,    
$\displaystyle {\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0A_2}}{\overline{A_0A_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_1}}{\overline{C_0B_1}}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{\overline{B_0A_1}}{\overline{A_0A_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B_1}}{\overline{B_0B_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0C_1}}{\overline{C_0C_1}}}$ = 1,    
$\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_2}}{\overline{C_0A_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_2}}{\overline{A_0B_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_2}}{\overline{B_0C_2}}}$ = 1.    

Перемножая эти равенства, получаем $ {\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ . $ {\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ . $ {\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$=1, а значит, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.065

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .