ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56914
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$.


Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Решение

а) Эта задача является переформулировкой задачи 5.58, так как число  $ \overline{BA_1}$ : $ \overline{CA_1}$ имеет знак минус, если точка A1 лежит на отрезке BC, и знак плюс, если она лежит вне отрезка BC.
б) Предположим сначала, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Любые три вектора плоскости линейно зависимы, т. е. существуют такие числа  $ \lambda$,$ \mu$ и $ \nu$ (не все равные нулю), что  $ \lambda$$ \overrightarrow{AM}$ + $ \mu$$ \overrightarrow{BM}$ + $ \nu$$ \overrightarrow{CM}$ = 0. Рассмотрим проекцию на прямую BC параллельно прямой AM. При этой проекции точки A и M переходят в A1, а точки B и C переходят сами в себя. Поэтому  $ \mu$$ \overline{BA_1}$ + $ \nu$$ \overline{CA_1}$ = 0, т. е.  $ \overline{BA_1}$ : $ \overline{CA_1}$ = - $ \nu$ : $ \mu$. Аналогично  $ \overline{CB_1}$ : $ \overline{AB_1}$ = - $ \lambda$ : $ \nu$ и  $ \overline{AC_1}$ : $ \overline{BC_1}$ = - $ \mu$ : $ \lambda$. Перемножая эти равенства, получаем требуемое. В случае, когда прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны, для доказательства достаточно заметить, что  $ \overline{BA_1}$ : $ \overline{CA_1}$ = $ \overline{BA}$ : $ \overline{C_1A}$ и  $ \overline{CB_1}$ : $ \overline{AB_1}$ = $ \overline{C_1B}$ : $ \overline{AB}$.
Предположим теперь, что выполняется указанное соотношение, и докажем, что тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Пусть C1* — точка пересечения прямой AB с прямой, проходящей через точку C и точку пересечения прямых AA1 и BB1. Для точки C1* выполняется такое же соотношение, как и для точки C1. Поэтому  $ \overline{C_1^*A}$ : $ \overline{C_1^*B}$ = $ \overline{C_1A}$ : $ \overline{C_1B}$. Следовательно, C1* = C1, т. е. прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Можно проверить также, что если выполняется указанное соотношение и две из прямых AA1, BB1 и CC1 параллельны, то третья прямая им параллельна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 8
Название Теорема Чевы
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.070

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .