ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56923
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки  A1, B1, C1. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$.



Решение

Применяя теорему синусов к треугольникам ACC1 и BCC1, получаем  $ {\frac{AC_1}{C_1C}}$ = $ {\frac{\sin ACC_1}{\sin A}}$ и  $ {\frac{CC_1}{C_1B}}$ = $ {\frac{\sin B}{\sin C_1CB}}$, т. е.  $ {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $ {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ . $ {\frac{\sin
B}{\sin A}}$. Аналогично  $ {\frac{BA_1}{A_1C}}$ = $ {\frac{\sin BAA_1}{\sin
A_1AC}}$ . $ {\frac{\sin C}{\sin B}}$ и  $ {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $ {\frac{\sin
CBB_1}{\sin B_1BA}}$ . $ {\frac{\sin A}{\sin C}}$. Для завершения доказательства остается перемножить эти равенства.
Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для отношений ориентированных отрезков и углов в том случае, когда точки взяты на продолжениях сторон.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 8
Название Теорема Чевы
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.078

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .