ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56924
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

Решение

Можно считать, что точки A2, B2 и C2 лежат на сторонах треугольника ABC. Согласно задаче 5.78

$\displaystyle {\frac{AC_2}{C_2B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_2}{A_2C}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_2}{B_2A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_2}{\sin C_2CB}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin BAA_2}{\sin A_2AC}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin CBB_2}{\sin B_2BA}}$.

Так как прямые AA2, BB2 и CC2 симметричны прямым AA1, BB1 и CC1 относительно биссектрис, то  $ \angle$ACC2 = $ \angle$C1CB,$ \angle$C2CB = $ \angle$ACC1 и т. д., поэтому

\begin{multline*}
\frac{\sin ACC_2}{\sin C_2CB}\cdot
\frac{\sin BAA_2}{\sin A_...
...frac{C_1B}{AC_1}\cdot\frac{A_1C}{BA_1}\cdot\frac{B_1A}{CB_1}=1.
\end{multline*}


Следовательно, $ {\frac{AC_2}{C_2B}}$ . $ {\frac{BA_2}{A_2C}}$ . $ {\frac{CB_2}{B_2A}}$=1, т. е. прямые  AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Замечание. Утверждение остается верным и в том случае, когда точки A1, B1 и C1 взяты на продолжениях сторон, если только точка P не лежит на описанной окружности S треугольника ABC; если же P лежит на окружности S, то прямые AA2, BB2 и CC2 параллельны (см. задачу 2.90).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 8
Название Теорема Чевы
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.079

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .