Условие
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие
середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть диагонали
AD и
BE данного
шестиугольника
ABCDEF пересекаются в точке
P;
K и
L —
середины сторон
AB и
ED. Так как
ABDE — трапеция, отрезок
KL
проходит через точку
P (задача
19.2). По теореме синусов
sin
APK : sin
AKP =
AK :
AP
и
sin
BPK : sin
BKP =
BK :
BP. Так как
sin
AKP = sin
BKP
и
AK =
BK, то
sin
APK : sin
BPK =
BP :
AP =
BE :
AD.
Аналогичные соотношения можно записать и для отрезков, соединяющих
середины двух других пар противоположных сторон. Перемножая эти
соотношения и применяя результат задачи
5.78 к треугольнику,
образованному прямыми
AD,
BE и
CF, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Треугольники |
|
параграф |
|
Номер |
8 |
|
Название |
Теорема Чевы |
|
Тема |
Теоремы Чевы и Менелая |
|
задача |
|
Номер |
05.080 |
