Задача 56928

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA₁ и PA₂ на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA₃. Аналогично определяются точки B₁, B₂ и C₁, C₂. Докажите, что прямые  A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром P и коэффициентом 2. Так как  PA₁A₃A₂ — прямоугольник, то при этой гомотетии прямая A₁A₂ переходит в прямую l_a, проходящую через точку A₃, причем прямые l_a и A₃P симметричны относительно прямой A₃A. Прямая A₃A делит пополам угол B₃A₃C₃ (задача 1.56, а)). Аналогично доказывается, что прямые l_b и l_c симметричны прямым B₃P и C₃P относительно биссектрис треугольника A₃B₃C₃. Следовательно, прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке или параллельны (задача 5.79), а значит, в одной точке пересекаются и прямые  A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.081