Информация о задаче

Задача 56933

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что $\angle$ MBB₁ = $\angle$ NBB₁.

Решение

Пусть отрезки BM и BN пересекают сторону AC в точках P и Q. Тогда

$\displaystyle {\frac{\sin PBB_1}{\sin PBA}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin PBB_1}{\sin BPB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin APB}{\sin PBA}}$ = $\displaystyle {\frac{PB_1}{BB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AB}{PA}}$ .

Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то ${\frac{AP}{PB_1}}$ ^. ${\frac{B_1O}{OB}}$ ^. ${\frac{BC_1}{C_1A}}$ = 1, а значит, ${\frac{\sin PBB_1}{\sin PBA}}$ = ${\frac{AB}{BB_1}}$ ^. ${\frac{B_1O}{OB}}$ ^. ${\frac{BC_1}{C_1A}}$ . Заметив, что BC₁ : C₁A = BC : CA, и проведя аналогичные вычисления для sin QBB₁ : sin QBC, получим sin PBB₁ : sin PBA = sin QBB₁ : sin QBC. А так как $\angle$ ABB₁ = $\angle$ CBB₁, то $\angle$ PBB₁ = $\angle$ QBB₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.084