ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56934
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямая Симсона ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
Название задачи: Прямая Симсона.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.


Решение

  Пусть A1, B1 и C1 – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB.

  а) Пусть точка P лежит на дуге AC описанной окружности треугольника ABC. Сумма углов при вершинах A1 и C1 четырёхугольника A1BC1P равна 180°, поэтому  ∠ A1PC1 = 180° – ∠B = ∠APC.  Следовательно,  ∠APC1 = ∠A1PC,  причём одна из точек A1 и C1 (например, A1) лежит на стороне треугольника, а другая – на продолжении стороны. Четырёхугольники AB1PC1 и A1B1PC вписанные, поэтому
AB1C1 = ∠APC1 = ∠A1PC = ∠A1B1C,  а значит, точка B1 лежит на отрезке A1C1.

  б) Первый способ. Воспользуемся ориентированными углами (см. главу 2 книги В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии"). Как и в а), получаем
∠(AP, PC1) = ∠(AB1, B1C) = ∠(CB1, B1A1) = ∠(CP, PA1).  Прибавляя  ∠(PC1, PC),  получаем  ∠(AP, PC) = ∠(PC1, PA1) = ∠(BC1, BA1) = ∠(AB, PC),  то есть точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.
  Второй способ. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, при которой описанная окружность Ω треугольника ABC перейдет в окружность Ω', проходящую через точку P. Треугольник ABC перейдет в треугольник AB'C', вписанный в Ω'. Основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны AB', AC' треугольника AB'C', – те же точки C1 и B1. Пусть A2 – основание перпендикуляра, опущенного из P на B'C'. Согласно а) точки C1, B1 и A2 лежат на одной прямой. Значит, прямая C1B1 пересекает прямую PA1 как в точке A1, так и в точке A2. Следовательно точки A1 и A2 совпадают. Тогда совпадают и прямые AB и A'B', то есть коэффициент гомотетии равен 1, и Ω' совпадает с Ω.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 9
Название Прямая Симсона
Тема Прямая Симсона
задача
Номер 05.085

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .