ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56936
Тема:    [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 — середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и  PA1| DM.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 9
Название Прямая Симсона
Тема Прямая Симсона
задача
Номер 05.087

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .