ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56978
Тема:    [ Точка Лемуана ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC). Докажите, что  BM . BN/(CM . CN) = c2/b2. В частности, если AS — симедиана, то  BS/CS = c2/b2.

Решение

По теореме синусов  AB/BM = sin AMB/sin BAM и  AB/BN = sin ANB/sin BAN. Значит,

$\displaystyle {\frac{AB^2}{BM\cdot BN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AMB\sin ANB}{\sin BAM\sin BAN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AMC\sin ANC}{\sin CAN\sin CAM}}$ = $\displaystyle {\frac{AC^2}{CM\cdot CN}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 13
Название Точка Лемуана
Тема Точка Лемуана
задача
Номер 05.123

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .