Задача 57009

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда  ACB = ACD и  BAC = CAD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны, так как сторона AC у них общая. Следовательно, AB = DA. Аналогично  AB = BC = CD = DA.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.001