ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57036
Темы:    [ Подобные фигуры ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A1, B1, C1 и D1 таковы, что  AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A1B1C1D1 тоже выпуклый, причем  $ \angle$A + $ \angle$C1 = 180o.

Решение

Любой четырехугольник с точностью до подобия определяется направлениями своих сторон и диагоналей (см. задачу 57035), поэтому достаточно построить один пример четырехугольника  A1B1C1D1 с требуемыми направлениями сторон и диагоналей. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. На луче OA возьмем произвольную точку D1 и проведем  D1A1||BC, A1B1||CD и  B1C1||DA (см. рис.). Так как  OC1 : OB1 = OD : OA, OB1 : OA1 = OC : OD и  OA1 : OD1 = OB : OC, то  OC1 : OD1 = OB : OA, а значит,  C1D1||AB. Из полученного рисунка ясно, что  $ \angle$A + $ \angle$C1 = 180o.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 2
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (прочее)
задача
Номер 06.025

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .