Задача 57070

Тема:    [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

Решение

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник A₁...A₁₂, вписанный в окружность радиуса R. Ясно, что   A₁A₇ = 2R,  A₁A₃ = A₁A₁₁ = R.

Ответ

Существует.

Замечания

Идеология. Известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть половине большой диагонали. Осталось превратить сторону в диагональ, для чего надо увеличить число сторон в несколько раз.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.057