ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57071
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   AkOAk+1 на прямых   A1A2k, A2A2k–1, ..., AkAk+1,  равна R.


Решение 1

  Для  k = 3  решение задачи ясно из рисунка.

  В самом деле,  A3A4 = OQKL = QP  и  MN = PA14,  поэтому  A3A4 + KL + MN = OQ + QP + PA14 = OA14 = R.
  Доказательство проводится аналогично и для любого k.


Решение 2

Пусть     Указанные отрезки – основания равнобедренных треугольников с углом при вершине и высотами R sin φ, R sin 2φ, ..., R sin kφ.  Их сумма (согласно задаче 61123) б) равна

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.058

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .