Задача 57151

Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Найдите ГМТ X, лежащих внутри правильного треугольника ABC и обладающих тем свойством, что  XAB + XBC + XCA = 90^o.

Решение

Легко проверить, что точки высот треугольника ABC обладают требуемым свойством. Предположим, что требуемым свойством обладает точка X, не лежащая ни на одной из высот треугольника ABC. Тогда прямая BX пересекает высоты AA₁ и CC₁ в точках X₁ и X₂. Так как  XAB + XBC + XCA = 90^o = X₁AB + X₁BC + X₁CA, то  XAB - X₁AB = X₁CA - XCA, т. е.  (XA, AX₁) = (X₁C, CX). Следовательно, точка X лежит на описанной окружности треугольника AXC', где точка C' симметрична C относительно прямой BX. Аналогично доказывается, что точка X₂ лежит на этой окружности, а значит, прямая BX пересекает эту окружность в трех различных точках. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	3
Название	Вписанный угол
Тема	ГМТ и вписанный угол
задача
Номер	07.022