ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57158
Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Гомотетия (ГМТ) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Радиусы окружностей ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.


Решение 1

Пусть P и Q – центры описанных окружностей треугольников AMB и CMB. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда BPMQ – ромб, то есть точка M является образом середины отрезка PQ при гомотетии с центром B и коэффициентом 2. А так как проекции точек P и Q на прямую AC являются серединами отрезков AB и BC, середины всех отрезков PQ лежат на одной прямой.


Решение 2

Поскольку синусы углов MBA и MBC равны, то равенство радиусов описанных окружностей эквивалентно равенству отрезков MA и MC.


Ответ

Серединный перпендикуляр к отрезку AC (без середины отрезка AC).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 5
Название Гомотетия
Тема Гомотетия (ГМТ)
задача
Номер 07.029

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .