Условие
Через середину каждой диагонали выпуклого
четырехугольника проводится прямая, параллельная другой
диагонали. Эти прямые пересекаются в точке
O. Докажите, что
отрезки, соединяющие точку
O с серединами сторон четырехугольника,
делят его площадь на равные части.
Решение
Обозначим середины диагоналей
AC и
BD
четырехугольника
ABCD через
M и
N соответственно. Ясно,
что
SAMB =
SBMC и
SAMD =
SDMC, т. е.
SDABM =
SBCDM.
Поскольку при перемещении точки
M параллельно
BD площади
четырехугольников
DABM и
BCDM не изменяются,
то
SDABO =
SBCDO. Аналогичные рассуждения для точки
N
показывают, что
SABCO =
SCDAO. Поэтому
SADO +
SABO =
SBCO +
SCDO и
SABO +
SBCO =
SCDO +
SADO,
а значит,
SADO =
SBCO =
S1
и
SABO =
SCDO =
S2, т. е. площадь каждой из четырех частей, на
которые отрезки, соединяющие точку
O с серединами сторон
четырехугольника, разбивают его, равна
(
S1 +
S2)/2.
Источники и прецеденты использования
