ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57163
Тема:    [ Метод ГМТ ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо MA $ \leq$ MB, либо MA $ \leq$ MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.

Решение

Найдем ГМТ M, для которых MA > MB и MA > MC. Проведем серединные перпендикуляры l1 и l2 к отрезкам AB и ACMA > MB для точек, лежащих внутри полуплоскости, заданной прямой l1 и не содержащей точку A. Поэтому искомым ГМТ является пересечение полуплоскостей (без границ), заданных прямыми l1, l2 и не содержащих точку A. Если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то это ГМТ всегда непусто. Если A, B, C лежат на одной прямой, но A не лежит на отрезке BC, то это ГМТ тоже непусто. Если же A лежит на отрезке BC, то это ГМТ пусто, т. е. для любой точки M либо MA $ \leq$ MB, либо MA $ \leq$ MC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 6
Название Метод ГМТ
Тема Метод ГМТ
задача
Номер 07.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .