ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57169
Темы:    [ Теорема Карно ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы: 9
Название задачи: Теорема Карно.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B² + C1A² + B1C² = B1A² + A1C² + C1B² (теорема Карно).


Решение

  Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M. Так как точки B1 и M лежат на одном перпендикуляре к прямой AC, то
B1A² – B1C² = MA² – MC²  (см. задачу 57134). Аналогично  C1B² – C1A² = MB² – MA²  и  A1C² – A1B² = MC² – MB².  Складывая эти равенства, получаем  A1B² + C1A² + B1C² = B1A² + A1C² + C1B².
  Обратно, пусть данное равенство выполнено. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек A1 и B1 на прямые BC и AC, через M. Если M не совпадает с C1, проведём через точку M прямую, перпендикулярную прямой AB. Тогда согласно предыдущему
A1B² + MA² + B1C² = B1A² + A1C² + MB²,  то есть  MB² – MA² = A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = C1B² – C1A².  Согласно задаче 57134 прямая MC1 перпендикулярна отрезку AB, что и требовалось.

Замечания

Поменяв местами тройки  (A, B, C)  и  (A1, B1, C1),  мы не изменим равенства в условии. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на стороны B1C1, C1A1, A1B1 треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 8
Название Теорема Карно
Тема Теорема Карно
задача
Номер 07.040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .