ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57174
Тема:    [ Теорема Карно ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На прямой l взяты точки A1, B1 и C1 и из вершин треугольника ABC на эту прямую опущены перпендикуляры AA2, BB2 и CC2. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  $ \overline{A_1B_1}$ : $ \overline{B_1C_1}$ = $ \overline{A_2B_2}$ : $ \overline{B_2C_2}$ (отношения отрезков ориентированные).

Решение

Нужно выяснить, в каком случае выполняется равенство  AB12 + BC12 + CA12 = BA12 + CB12 + AC12. Вычитая из обеих частей этого равенства величину  AA22 + BB22 + CC22, переходим к соотношению  A2B12 + B2C12 + C2A12 = B2A12 + C2B12 + A2C12, т. е.  (b1 - a2)2 + (c1 - b2)2 + (a1 - c2)2 = (a1 - b2)2 + (b1 - c2)2 + (c1 - a2)2, где ai, bi и ci — координаты точек Ai, Bi и Ci на прямой l. После сокращения получаем  a2b1 + b2c1 + c2a1 = a1b2 + b1c2 + c1a2, а значит,  (b2 - a2)(c1 - b1) = (b1 - a1)(c2 - b2), т. е.  $ \overline{A_2B_2}$ : $ \overline{B_2C_2}$ = $ \overline{A_1B_1}$ : $ \overline{B_1C_1}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 8
Название Теорема Карно
Тема Теорема Карно
задача
Номер 07.044

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .