Условие
Треугольник
ABC правильный,
P — произвольная
точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных
окружностей треугольников
PAB,
PBC и
PCA на прямые
AB,
BC и
CA,
пересекаются в одной точке.
Решение
Можно считать, что длина стороны данного правильного
треугольника равна 2. Пусть
PA = 2
a,
PB = 2
b и
PC = 2
c;
A1,
B1
и
C1 — проекции центров вписанных окружностей треугольников
PBC,
PCA и
PAB на прямые
BC,
CA и
AB. Согласно задаче
3.2
AB12 +
BC12 +
CA12 = (1 +
a -
c)
2 + (1 +
b -
a)
2 + (1 +
c -
b)
2 = 3 + (
a -
c)
2 + (
b -
a)
2 + (
c -
b)
2 =
BA12 +
CB12 +
AC12.
Источники и прецеденты использования
