ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57177
Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что  k1A1X2 + ... + knAnX2 = c:
а) при  k1 + ... + kn$ \ne$ 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при  k1 + ... + kn = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Решение

Пусть (ai, bi) — координаты точки Ai, (x, y) — координаты точки X. Тогда уравнение, которому удовлетворяет точка X, перепишется в виде c = $ \sum$ki((x-ai)2+(x-bi)2) = $ \left(\vphantom{\sum k_i}\right.$$ \sum$ki$ \left.\vphantom{\sum k_i}\right)$(x2 + y2) - $ \left(\vphantom{2\sum k_ia_i}\right.$2$ \sum$kiai$ \left.\vphantom{2\sum k_ia_i}\right)$x - $ \left(\vphantom{2\sum k_ib_i}\right.$2$ \sum$kibi$ \left.\vphantom{2\sum k_ib_i}\right)$y + $ \sum$ki(ai2 + bi2). Если коэффициент при x2 + y2 отличен от нуля, то это уравнение задает окружность или пустое множество, а если он равен нулю, то уравнение задает прямую, плоскость или пустое множество.
Замечание. Если в случае а) точки  A1,..., An лежат на одной прямой l, то эту прямую можно выбрать в качестве оси Ox. Тогда bi = 0, а значит, коэффициент при y равен нулю, т. е. центр окружности лежит на прямой l.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 9
Название Окружность Ферма-Аполлония
Тема Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер 07.047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .