Задача 57179

Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Пусть  AM : BM : CM = p : q : r. Все точки X, удовлетворяющие соотношению  (q² - r²)AX² + (r² - p²)BX² + (p² - q²)CX² = 0, лежат на одной прямой (см. задачу 7.47), а точки M, N и O удовлетворяют этому соотношению.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	9
Название	Окружность Ферма-Аполлония
Тема	Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер	07.049