Задача 57200

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

Решение

  Возьмём на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q – на стороне BC (см. рис.). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF.

  В самом деле,  SR : EC = PQ : EC = BQ : BC = FR : FC,  то есть точка S лежит на отрезке EF. Обратно, если точка S лежит на отрезке EF, то проведём  SP || BF,  PQ || EC  и  QR || BF  (P, Q, R – точки на прямых AB, BC, CD). Тогда  SP : BF = PE : BE = QC : BC = QR : BF,  то есть  SP = QR  и PQRS – параллелограмм.
  Из этого вытекает следующее построение. Строим сначала точки E и F. Вершина S является точкой пересечения отрезков AD и EF. Дальнейшее построение очевидно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	1
Название	Метод геометрических мест точек
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	08.006