Задача 57304

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 2 Классы: 8

Условие

Докажите, что  (a + b - c)/2 < m_c < (a + b)/2, где a, b и c - длины сторон произвольного треугольника, m_c - медиана к стороне c.

Решение

Пусть C₁ — середина стороны AB. Тогда  CC₁ + C₁A > CA и  BC₁ + C₁C > BC. Поэтому  2CC₁ + BA > CA + BC, т. е.  m_c > (a + b - c)/2.
Пусть точка C' симметрична C относительно точки C₁. Тогда  CC₁ = C₁C' и BC' = CA. Поэтому  2m_c = CC' < CB + BC' = CB + CA, т. е.  m_c < (a + b)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	1
Название	Медиана треугольника
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	09.001