ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57304
Тема:    [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 2
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  (a + b - c)/2 < mc < (a + b)/2, где a, b и c - длины сторон произвольного треугольника, mc - медиана к стороне c.

Решение

Пусть C1 — середина стороны AB. Тогда  CC1 + C1A > CA и  BC1 + C1C > BC. Поэтому  2CC1 + BA > CA + BC, т. е.  mc > (a + b - c)/2.
Пусть точка C' симметрична C относительно точки C1. Тогда  CC1 = C1C' и BC' = CA. Поэтому  2mc = CC' < CB + BC' = CB + CA, т. е.  mc < (a + b)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 1
Название Медиана треугольника
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 09.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .