ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57306
Тема:    [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны n точек  A1,..., An и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M так, что  MA1 + ... + MAn $ \geq$ n.

Решение

Пусть M1 и M2 — диаметрально противоположные точки окружности. Тогда  M1Ak + M2Ak $ \geq$ M1M2 = 2. Складывая эти неравенства для  k = 1,..., n, получаем  (M1A1 + ... + M1An) + (M2A1 + ... + M2An) $ \geq$ 2n. Поэтому либо  M1A1 + ... + M1An $ \geq$ n, и тогда положим M = M1, либо  M2A1 + ... + M2An $ \geq$ n, и тогда положим M = M2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 1
Название Медиана треугольника
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 09.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .