ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57308
Тема:    [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 5
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.

Решение

Пусть Ai и Bi — положения конца минутных стрелок часов с номером i в моменты t и  t + 30 мин, Oi — центр i-х часов, а O — центр стола. Тогда  OOi $ \leq$ (OAi + OBi)/2 для любого i (см. задачу 9.1). Ясно, что в некоторый момент точки Ai и Bi не лежат на прямой OiO, т. е. по крайней мере одно из n неравенств становится строгим. Тогда либо  OO1 + ... + OOn < OA1 + ... + OAn, либо  OO1 + ... + OOn < OB1 + ... + OBn.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 1
Название Медиана треугольника
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 09.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .