ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57312
Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3.



Решение

Так как  c(a - b)2 + 4abc = c(a + b)2, то  a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc - a3 - b3 - c3 = a((b - c)2 - a2) + b((c - a)2 - b2) + c((a + b)2 - c2) = (a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c). (Последнее равенство проверяется простым вычислением.) Все три сомножителя положительны в силу неравенства треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 2
Название Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер 09.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .