ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57313
Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3.



Решение

Пусть x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c. Согласно неравенству треугольника эти числа положительны. Ясно, что a = $ {\frac{y+z}{2}}$, b = $ {\frac{x+z}{2}}$, c = $ {\frac{x+y}{2}}$. Поэтому требуемое неравенство переписывается в виде

$\displaystyle {\frac{y+z}{2x}}$ + $\displaystyle {\frac{x+z}{2y}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{2z}}$$\displaystyle \ge$3.

Остаётся заметить, что $ {\frac{x}{y}}$ + $ {\frac{y}{x}}$$ \ge$2 и т.д.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 2
Название Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер 09.009B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .