ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57315
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенства для остроугольных треугольников ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Решение

Обозначим длины отрезков так, что  a1 $ \leq$ a2 $ \leq$ a3 $ \leq$ a4 $ \leq$ a5. Если все треугольники, которые можно составить из этих отрезков, не остроугольные, то  a32 $ \geq$ a12 + a22, a42 $ \geq$ a22 + a32 и  a52 $ \geq$ a32 + a42. Поэтому  a52 $ \geq$ a32 + a42 $ \geq$ (a12 + a22) + (a22 + a32) $ \geq$ 2a12 + 3a22. Так как  a12 + a22 $ \geq$ 2a1a2, то 2a12 + 3a22 > a12 + 2a1a2 + a22 = (a1 + a2)2. Приходим к неравенству  a52 > (a1 + a2)2, противоречащему неравенству треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 2
Название Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер 09.011
журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М52

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .