Задача 57338

Тема:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  4S AM ^. BC + BM ^. AC + CM ^. AB, где S — площадь треугольника ABC.

Решение

Опустим из точек B и C перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую AM. Тогда  2S_AMB + 2S_AMC = AM ^. BB₁ + AM ^. CC₁ AM ^. BC, так как  BB₁ + CC₁ BC. Аналогично  2S_BMC + 2S_BMA BM ^. AC и  2S_CMA + 2S_CMB CM ^. AB. Складывая эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	5
Название	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
Тема	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
задача
Номер	09.033