Задача 57353

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Внутри квадрата со стороной 1 даны n точек. Докажите, что:
а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит  1/(2(n + 1));
б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(n - 2).

Решение

а) Пусть  P₁,..., P_n — данные точки. Соединим точку P₁ с вершинами квадрата. При этом получится четыре треугольника. Затем для  k = 2,..., n проделаем следующую операцию. Если точка P_k лежит строго внутри одного из полученных ранее треугольников, то соединим ее с вершинами этого треугольника. Если точка P_k лежит на общей стороне двух треугольников, то соединим ее с вершинами этих треугольников, противолежащими общей стороне. После каждой такой операции в обоих случаях число треугольников увеличивается на два. В результате получится 2(n + 1) треугольников. Сумма площадей этих треугольников равна 1, поэтому площадь одного из них не превосходит  1/(2(n + 1)).
б) Рассмотрим наименьший выпуклый многоугольник, содержащий данные точки. Пусть он имеет k вершин. Если k = n, то этот k-угольник можно разбить на n - 2 треугольников диагоналями, выходящими из одной вершины. Если же k < n, то внутри k-угольника лежит n - k точек и его можно разбить на треугольники способом, указанным в предыдущей задаче. При этом получится  k + 2(n - k - 1) = 2n - k - 2 треугольников. Так как k < n, то  2n - k - 2 > n - 2.
Сумма площадей треугольников разбиения меньше 1, а их количество не меньше n - 2, поэтому площадь хотя бы одного из них не превосходит 1/(n - 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.047