Информация о задаче

Задача 57354

Тема:

[

Площадь. Одна фигура лежит внутри другой

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что S² > S₁S₂.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что L² < P₁P₂.

Решение

а) Можно считать, что описанный n-угольник A₁...A_n и вписанный n-угольник B₁...B_n расположены так, что прямые A_iB_i пересекаются в центре O данного круга. Пусть C_i и D_i — середины сторон A_iA_{i + 1} и B_iB_{i + 1}. Тогда S_{OB_iC_i} = p^.OB_i^.OC_i, S_{OB_iD_i} = p^.OB_i^.OD_i и S_{OA_iC_i} = p^.OA_i^.OC_i, где p = (sin A_iOC_i)/2. Так как OA_i : OC_i = OB_i : OD_i, то S_{OB_iC_i}² = S_{OB_iD_i}S_{OA_iC_i}. Остается заметить, что площадь части круга, заключенной внутри угла A_iOC_i, больше S_{OB_iC_i}, а площади частей вписанного и описанного n-угольников, заключенных внутри этого угла, равны S_{OB_iD_i} и S_{OA_iC_i}.
б) Пусть радиус окружности равен R. Тогда P₁ = 2nR sin( $\pi$ /n), P₂ = 2nRtg( $\pi$ /n) и L = 2 $\pi$ R. Нужно доказать, что sin xtgx > x² при 0 < x $\leq$ $\pi$ /3. Так как $\left(\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right.$ ${\frac{\sin x}{x}}$ $\left.\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right)^{2}_{}$ $\geq$ $\left(\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right.$ 1 - ${\frac{x^2}{6}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right)^{2}_{}$ = 1 - ${\frac{x^2}{3}}$ + ${\frac{x^4}{36}}$ и 0 < cos x $\leq$ 1 - ${\frac{x^2}{2}}$ + ${\frac{x^2}{24}}$ (см. приложение в конце главы), остается проверить, что 1 - ${\frac{x^2}{3}}$ + ${\frac{x^4}{36}}$ $\geq$ 1 - ${\frac{x^2}{2}}$ + ${\frac{x^4}{24}}$ , т. е. 12x² > x⁴. При x $\leq$ $\pi$ /3 это неравенство выполняется.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.048