ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57354
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S2. Докажите, что  S2 > S1S2.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P2. Докажите, что  L2 < P1P2.

Решение

а) Можно считать, что описанный n-угольник  A1...An и вписанный n-угольник  B1...Bn расположены так, что прямые AiBi пересекаются в центре O данного круга. Пусть Ci и Di — середины сторон  AiAi + 1 и  BiBi + 1. Тогда  SOBiCi = p . OBi . OCi, SOBiDi = p . OBi . ODi и  SOAiCi = p . OAi . OCi, где  p = (sin AiOCi)/2. Так как  OAi : OCi = OBi : ODi, то  SOBiCi2 = SOBiDiSOAiCi. Остается заметить, что площадь части круга, заключенной внутри угла AiOCi, больше  SOBiCi, а площади частей вписанного и описанного n-угольников, заключенных внутри этого угла, равны  SOBiDi и  SOAiCi.
б) Пусть радиус окружности равен R. Тогда  P1 = 2nR sin($ \pi$/n), P2 = 2nRtg($ \pi$/n) и L = 2$ \pi$R. Нужно доказать, что  sin xtgx > x2 при  0 < x $ \leq$ $ \pi$/3. Так как $ \left(\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right.$$ {\frac{\sin x}{x}}$$ \left.\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right)^{2}_{}$ $ \geq$ $ \left(\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right.$1 - $ {\frac{x^2}{6}}$$ \left.\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right)^{2}_{}$ = 1 - $ {\frac{x^2}{3}}$ + $ {\frac{x^4}{36}}$ и  0 < cos x $ \leq$ 1 - $ {\frac{x^2}{2}}$ + $ {\frac{x^2}{24}}$ (см. приложение в конце главы), остается проверить, что  1 - $ {\frac{x^2}{3}}$ + $ {\frac{x^4}{36}}$ $ \geq$ 1 - $ {\frac{x^2}{2}}$ + $ {\frac{x^4}{24}}$, т. е. 12x2 > x4. При  x $ \leq$ $ \pi$/3 это неравенство выполняется.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.048

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .