ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57355
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многоугольник площади B вписан в окружность площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что  2B $ \leq$ A + C.

Решение

Пусть O — центр гомотетии, переводящей вписанную окружность в описанную. Разобьем плоскость лучами, выходящими из точки O и проходящими через вершины многоугольника и точки касания его сторон с вписанной окружностью (рис.). Достаточно доказать требуемое неравенство для частей кругов и многоугольника, заключенных внутри каждого из образованных этими лучами углов. Пусть стороны угла пересекают вписанную и описанную окружности в точках P, Q и R, S соответственно, причем P — точка касания, а S — вершина многоугольника. Площади частей кругов больше площадей треугольников OPQ и ORS, поэтому достаточно доказать, что  2SOPS $ \leq$ SOPQ + SORS. Так как  2SOPS = 2SOPQ + 2SPQS и  SORS = SOPQ + SPQS + SPRS, остается доказать, что  SPQS $ \leq$ SPRS. Это неравенство очевидно, так как высоты треугольников PQS и PRS, опущенные на основания PQ и RS, равны, a PQ < RS.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.049

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .