ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57357
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S1 и периметра P1 расположен выпуклый многоугольник площади S2 и периметра P2. Докажите, что  2S1/P1 > S2/P2.

Решение

а) Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй стороной R = S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются и могут вылезать за его пределы, а сумма их площадей равна площади многоугольника). Непокрытая точка удалена ото всех сторон многоугольника больше, чем на R, поэтому круг радиуса R с центром в этой точке целиком лежит внутри многоугольника.
б) Из задачи а) следует, что во внутренний многоугольник можно поместить круг радиуса S2/P2. Ясно, что этот круг лежит внутри внешнего многоугольника. Остается доказать, что если внутри многоугольника лежит круг радиуса R, то  R $ \leq$ 2S/P. Для этого соединим центр O круга с вершинами. Тогда многоугольник разобьется на треугольники с площадями hiai/2, где hi — расстояние от точки O до i-й стороны, а ai — длина i-й стороны. Так как hi $ \geq$ R, то  2S = $ \sum$hiai $ \geq$ $ \sum$Rai = RP.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.051

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .