ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57358
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда две стороны параллелограмма лежат на прямых AB и AC, а четвертая вершина X лежит на стороне BC. Если  BX : CX = x : (1 - x), то отношение площади параллелограмма к площади треугольника равно  2x(1 - x) $ \leq$ 1/2.
В общем случае проведем параллельные прямые, содержащие пару сторон данного параллелограмма (рис.). Площадь данного параллелограмма не превосходит суммы площадей заштрихованных параллелограммов, а они относятся к разобранному выше случаю. Если прямые, содержащие пару сторон данного параллелограмма, пересекают лишь две стороны треугольника, то можно ограничиться одним заштрихованным параллелограммом.



Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.052

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .