ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57360
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади $ \sqrt{3}$.

Решение

Пусть M — середина наибольшей стороны BC данного остроугольного треугольника ABC. Окружность радиуса MA с центром M пересекает лучи MB и MC в точках B1 и C1. Так как  $ \angle$BAC < 90o, то MB < MB1. Пусть для определенности  $ \angle$AMB $ \leq$ $ \angle$AMC, т. е.  $ \angle$AMB $ \leq$ 90o. Тогда  AM2 + MB2 $ \leq$ AB2 $ \leq$ BC2 = 4MB2, т. е.  AM $ \leq$ $ \sqrt{3}$BM. Если AH — высота треугольника ABC, то  AH . BC = 2, а значит,  SAB1C1 = B1C1 . AH/2 = AM . AH $ \leq$ $ \sqrt{3}$BM . AH = $ \sqrt{3}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .