ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57361
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади S можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2S.
б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S можно вписать параллелограмм площади не менее S/2.

Решение

а) Пусть AB — наибольшая диагональ или сторона данного многоугольника M. Многоугольник M заключен внутри полосы, образованной перпендикулярами к отрезку AB, проходящими через точки A и B. Проведем к многоугольнику M две опорные прямые, параллельные AB; пусть они пересекают многоугольник M в точках C и D. В результате многоугольник M заключен в прямоугольник, площадь которого равна  2SABC + 2SABD $ \leq$ 2S.
б) Пусть M — исходный многоугольник, l — произвольная прямая. Рассмотрим многоугольник M1, одна из сторон которого — проекция M на l, а длины сечений многоугольников M и M1 любой прямой, перпендикулярной l, равны (рис.). Легко проверить, что многоугольник M1 тоже выпуклый, причем его площадь равна S. Пусть A — наиболее удаленная от l точка многоугольника M1. Прямая, равноудаленная от точки A и прямой l, пересекает стороны многоугольника M1 в точках B и C. Проведем через точки B и C опорные прямые. В результате вокруг многоугольника M1 будет описана трапеция (через точку A тоже можно провести опорную прямую); площадь этой трапеции не менее S. Если высота трапеции (т. е. расстояние от точки A до прямой l) равна h, то ее площадь равна h . BC, а значит,  h . BC $ \geq$ S. Рассмотрим сечения PQ и RS многоугольника M прямыми, перпендикулярными l и проходящими через B и C. Длины этих сечений равны h/2, поэтому PQRS — параллелограмм, причем его площадь равна  BC . h/2 $ \geq$ S/2.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .