ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57364
Тема:    [ Ломаные внутри квадрата ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

Решение

Пусть li — длина i-го звена ломаной, ai и bi — длины его проекций на стороны квадрата. Тогда  li $ \leq$ ai + bi. Следовательно,  1000 = l1 + ... + ln $ \leq$ (a1 + ... + an) + (b1 + ... + bn), т. е. либо  a1 + ... + an $ \geq$ 500, либо  b1 + ... + bn $ \geq$ 500. Если сумма длин проекций звеньев на сторону длиной 1 не меньше 500, то на одну из точек стороны проецируется не менее 500 различных звеньев ломаной, т. е. перпендикуляр к стороне, проходящий через эту точку, пересекает ломаную по крайней мере в 500 точках.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 8
Название Ломаные внутри квадрата
Тема Ломаные внутри квадрата
задача
Номер 09.058

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .