ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57386
Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны a и b, то его длина не меньше  (a + b)/$ \sqrt{2}$.
б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны a и b. Докажите, что его периметр не меньше  $ \sqrt{2}$(a + b).

Решение

а) Нужно доказать, что если c — гипотенуза прямоугольного треугольника, а a и b — его катеты, то  c $ \geq$ (a + b)/$ \sqrt{2}$, т. е.  (a + b)2 $ \leq$ 2(a2 + b2). Ясно, что (a+b)2 = (a2 + b2) + 2ab $ \leq$ (a2 + b2) + (a2 + b2) = 2(a2 + b2).
б) Пусть di — длина i-ой стороны многоугольника, а xi и yi — длины ее проекций на координатные оси. Тогда  x1 + ... + xn $ \geq$ 2a, y1 + ... + yn $ \geq$ 2b. Согласно задаче а)  di $ \geq$ (xi + yi)/$ \sqrt{2}$. Поэтому  d1 + ... + dn $ \geq$ (x1 + ... + xn + y1 + ... + yn)/$ \sqrt{2}$ $ \geq$ $ \sqrt{2}$(a + b).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 10
Название Многоугольники
Тема Многоугольники (неравенства)
задача
Номер 09.080

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .