ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57412
Тема:    [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то  a2 + b2 $ \geq$ c2/2.
б) Докажите, что  ma2 + mb2 $ \geq$ 9c2/8.

Решение

а) Так как c $ \leq$ a + b, то  c2 $ \leq$ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab $ \leq$ 2(a2 + b2).
б) Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Согласно задаче а)  MA2 + MB2 $ \geq$ AB2/2, т. е.  $ {\frac{4m_a^2}{9}}$ + $ {\frac{4m_b^2}{9}}$ $ \geq$ c2/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 1
Название Медианы
Тема Неравенства с медианами
задача
Номер 10.004

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .