ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57450
Тема:    [ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) $ \leq$ 1/8;
б)  cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ $ \leq$ 1/8.

Решение

а) Согласно задаче 12.36, а) sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = r/4R. Кроме того, r $ \leq$ R/2 (задача 10.26).
б) Для остроугольного треугольника следует из а) (см. замечание). Для тупоугольного треугольника cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ < 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 6
Название Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер 10.040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .