Информация о задаче

Задача 57458

Тема:

[

Неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если $\alpha$ < $\beta$ < $\gamma$ , то sin 2 $\alpha$ > sin 2 $\beta$ > sin 2 $\gamma$ .

Решение

Так как $\pi$ - 2 $\alpha$ > 0, $\pi$ - 2 $\beta$ > 0, $\pi$ - 2 $\gamma$ > 0 и ( $\pi$ - 2 $\alpha$ ) + ( $\pi$ - 2 $\beta$ ) + ( $\pi$ -2 $\gamma$ ) = $\pi$ , существует треугольник с углами $\pi$ - 2 $\alpha$ , $\pi$ - 2 $\beta$ , $\pi$ - 2 $\gamma$ . Длины сторон, противолежащих углам $\pi$ - 2 $\alpha$ , $\pi$ - 2 $\beta$ , $\pi$ - 2 $\gamma$ , пропорциональны числам sin( $\pi$ - 2 $\alpha$ ) = sin 2 $\alpha$ , sin 2 $\beta$ , sin 2 $\gamma$ . Поскольку $\pi$ - 2 $\alpha$ > $\pi$ - 2 $\beta$ > $\pi$ - 2 $\gamma$ и против большего угла лежит большая сторона, то sin 2 $\alpha$ > sin 2 $\beta$ > sin 2 $\gamma$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	7
Название	Неравенства для углов треугольника
Тема	317
задача
Номер	10.048