ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57464
Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  a2 + b2 + c2 - (a - b)2 - (b - c)2 - (c - a)2 $ \geq$ 4$ \sqrt{3}$S.

Решение

Пусть  x = p - a, y = p - b, z = p - c. Тогда  (a2 - (b - c)2) + (b2 - (a - c)2) + (c2 - (a - b)2) = 4(p - b)(p - c) + 4(p - a)(p - c) + 4(p - a)(p - b) = 4(yz + zx + xy) и

4$\displaystyle \sqrt{3}$S = 4$\displaystyle \sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}$ = 4$\displaystyle \sqrt{3(x+y+z)xyz}$.

Итак, нужно доказать неравенство  xy + yz + zx $ \geq$ $ \sqrt{3(x+y+z)xyz}$. После возведения в квадрат и сокращения получаем

x2y2 + y2z2 + z2x2 $\displaystyle \geq$ x2yz + y2xz + z2xy.

Складывая неравенства  x2yz $ \leq$ x2(y2 + z2)/2, y2xz $ \leq$ y2(x2 + z2)/2 и  z2xy $ \leq$ z2(x2+y2)/2, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 8
Название Неравенства для площади треугольника
Тема Неравенства для площади треугольника
задача
Номер 10.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .