ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57465
Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
а)  S3 $ \leq$ ($ \sqrt{3}$/4)3(abc)2;
б)  3hahbhc $ \leq$ 43$ \sqrt{S}$ $ \leq$ 3rarbrc.

Решение

а) Перемножив три равенства вида  S = (ab sin$ \gamma$)/2, получим  S3 = ((abc)2sin$ \gamma$sin$ \beta$sin$ \alpha$)/8. Остается воспользоваться результатом задачи 10.41.
б) Так как  (hahbhc)2 = (2S)6/(abc)2 и  (abc)2 $ \geq$ (4/$ \sqrt{3}$)3S3, то  (hahbhc)2 $ \leq$ (2S)6($ \sqrt{3}$/4)3/S3 = ($ \sqrt{3}$S)3.
Так как  (rarbrc)2 = S4/r2 (задача 12.18, в) и  r2($ \sqrt{3}$)3 $ \leq$ S (задача 10.53, а)), то  (rarbrc)2 $ \geq$ ($ \sqrt{3}$S)3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 8
Название Неравенства для площади треугольника
Тема Неравенства для площади треугольника
задача
Номер 10.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .