ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57467
Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что  SA1B1C1/SABC $ \leq$ 1/4.

Решение

Пусть  p = BA1/BC, q = CB1/CA и r = AC1/AC. Тогда  SA1B1C1/SABC = 1 - p(1 - r) - q(1 - p) - r(1 - q) = 1 - (p + q + r) + (pq + qr + rp). По теореме Чевы (задача 5.70 pqr = (1 - p)(1 - q)(1 - r), т. е.  2pqr = 1 - (p + q + r) + (pq + qr + rp); кроме того,  (pqr)2 = p(1 - p)q(1 - q)r(1 - r) $ \leq$ (1/4)3. Следовательно,  SA1B1C1/SABC = 2pqr $ \leq$ $ {\frac{1}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 8
Название Неравенства для площади треугольника
Тема Неравенства для площади треугольника
задача
Номер 10.056

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .