Задача 57467

Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем  AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что  S_A1B1C1/S_ABC 1/4.

Решение

Пусть  p = BA₁/BC, q = CB₁/CA и r = AC₁/AC. Тогда  S_A1B1C1/S_ABC = 1 - p(1 - r) - q(1 - p) - r(1 - q) = 1 - (p + q + r) + (pq + qr + rp). По теореме Чевы (задача 5.70)  pqr = (1 - p)(1 - q)(1 - r), т. е.  2pqr = 1 - (p + q + r) + (pq + qr + rp); кроме того,  (pqr)² = p(1 - p)q(1 - q)r(1 - r) (1/4)³. Следовательно,  S_A1B1C1/S_ABC = 2pqr .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.056