|
|
 |
Условие
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.
Решение
Если данный отрезок не имеет общих точек с окружностью, то с помощью гомотетии с центром A (и коэффициентом больше 1) его можно перевести в отрезок, имеющий общую точку X с дугой BC и лежащий в нашей области. Проведём через точку X касательную DE к окружности (точки D и E лежат на отрезках AB и AC). Тогда отрезки AD и AE меньше AB и DE < ½ (DE + AD + AE) = AB, то есть все стороны треугольника ADE меньше AB. Так как наш отрезок лежит внутри треугольника ADE (или на его стороне DE), то его длина не превосходит AB (см. задачу 57475 а).
Замечания
3 балла
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4273 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Неравенства для элементов треугольника |
| Тема | Неравенства для элементов треугольника. |
| параграф | |
| Номер | 10 |
| Название | Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны |
| Тема | Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны |
| задача | |
| Номер | 10.066 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 15 |
| Дата | 1993/1994 |
| вариант | |
| Вариант | осенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 1 |
