Задача 57487

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то  m_a + m_b + m_c 4R.

Решение

Обозначим точку пересечения медиан через M, а центр описанной окружности через O. Если треугольник ABC не тупоугольный, то точка O лежит внутри его (или на его стороне); для определенности будем считать, что она лежит внутри треугольника AMB. Тогда  AO + BO AM + BM, т. е.  2R 2m_a/3 + 2m_b/3 или  m_a + m_b 3R. Остается заметить, что так как угол COC₁ (C₁ — середина AB) тупой, то  CC₁ CO, т. е. m_c R.
Равенство достигается только для вырожденного треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.076