ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57525
Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Решение

Пусть O — центр окружности радиуса R; A, B и C — вершины треугольника; a = $ \overrightarrow{OA}$, b = $ \overrightarrow{OB}$, c = $ \overrightarrow{OC}$. Тогда AB2 + BC2 + CA2 = |a - b|2 + |b - c|2 + |c - a|2 = 2(|a|2 + |b|2 + |c|2) - 2(a,b) - 2(b,c) - 2(c,a). Так как |a + b + c|2 = |a|2 + |b|2 + |c|2 + 2(a,b) + 2(b,c) + 2(c,a), то AB2 + BC2 + CA2 = 3(|a|2 + |b|2 + |c|2) - |a + b + c|2$ \le$3(|a|2 + |b|2 + |c|2) = 9R2, причем равенство достигается, только если a + b + c = 0. Это равенство означает, что треугольник ABC правильный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 1
Название Треугольник
Тема Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер 11.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .